Las colas son frecuentes en nuestras actividades diarias. Se presentan cuando se solicita un servicio por parte de una serie de clientes. Tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico. Es decir, pueden suceder cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para brindar dicho servicio.
La Teoría de Colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen el análisis matemático del comportamiento de las colas o líneas de espera. Estudia el comportamiento de sistemas donde existe un conjunto limitado de recursos para atender las peticiones generadas por los clientes.
Es únicamente un modelo del comportamiento del tráfico que se ve todos los días, como pueden ser: los semáforos, los cruces de dos vías de circulación, el peaje de una autopista, la espera en un banco, los autos en un lavacar, en un restaurante de comidas rápidas, entre otros. Ver más ejemplos
En general, el análisis de la Teoría de Colas es una de las herramientas más importantes para las personas involucradas con el análisis de computadoras y redes. Básicamente presenta un panorama del comportamiento de la cola a través del tiempo y el entorno de la misma. Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado, por lo que será necesario encontrar un balance adecuado.
Un sistema de colas se especifica por seis características principales:
a) Patrón de llegada de los clientes
b) Patrón de servicio de los servidores
c) Disciplina de cola
d) Capacidad del sistema
e) Número de canales de servicio
f) La fuente o población
Un sistema de colas es un modelo de sistema que proporciona un servicio. Consiste en uno o varios servidores que prestan un servicio a uno o varios clientes que acceden al sistema. Se utiliza para analizar el rendimiento de las redes.
Los elementos correspondientes a un Sistema de Colas son:a) Población o Fuente
• Tamaño de la Población
- Finita
- Infinita
• Forma de las llegadas
b) Proceso de Llegadas
• Clientes
c) Cola
• Tamaño de la cola
• Disciplina de la cola
d) Mecanismo de servicio
• Servidor
• Canal
• Tiempo de servicio
e) Proceso de Salidas
Una vez mencionadas los elementos de un Sistema de colas, es importante comentar cada uno de ellos. Ver elementos
Terminología y notación.- Ver
Tipos de Colas.-
Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (“birth death processes”)
Proceso estocástico continúo en el tiempo para el que el estado del sistema en cualquier tiempo sea un entero no negativo.
La gran mayoría de los modelos elementales que se usan en teoría de colas establecen que las entradas (llegadas de clientes) y salidas (clientes que se van) del sistema están basadas en un proceso de nacimiento y muerte.
Es un proceso de Markov con "Entradas Poisson y Tiempos de Servicio Exponencial". Es un caso especial de los procesos de Markov de estado discreto en los cuales las transiciones se restringen a los vecinos. Es decir, es un proceso donde sólo puede haber transiciones entre estados adyacentes. El número de estados (N) puede ser finito o infinito.
Su importancia reside en que las hipótesis en las que se basan son simples y en los casos en los que se aplican más frecuentemente, su resolución matemática es relativamente sencilla. Modelan con bastante exactitud el tráfico telefónico y de datos.
Aplicación.-
Por ejemplo en redes de comunicaciones se encuentra al definir:
1. Numero de paquetes en un router
2. Numero de llamadas en curso entre dos centrales telefónicas
Propiedades.-
1. Sin memoria: independencia del estado en instantes anteriores
2. Homogeneidad: independencia del instante de tiempo t
3. Nacimientos y muertes individuales: transición a un estado adyacente durante intervalo de tiempo suficientemente pequeño.
Análisis.-
Para analizar este proceso, se considera un sistema que está caracterizado por el número de elementos que hay en él, los mismos que pueden nacer (llegar al sistema) o morir (salir del sistema).
Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema de colas.
Muerte: salida del cliente servido.
Estado del sistema: número probable de clientes que hay en el sistema en un instante t. Está dado por el valor entero no negativo N(t); con t >= 0.
Este proceso describe como varía N(t) de manera probabilística al aumentar t.
Los nacimientos y muertes individuales ocurren de una manera aleatoria y sus tasas medias sólo dependen del estado actual del sistema (sin memoria), no de la historia anterior del mismo.
Hipótesis:
1. Para N(t) = n Distribución de probabilidad del tiempo que falta para el siguiente nacimiento(llegada) es exponencial con parámetro λn (n = 0,1,2,...)
2. Para N(t) = n Distribución de probabilidad del tiempo que falta para la siguiente muerte (terminación del servicio) es exponencial con parámetro μn (n = 1,2,...)
3. Sólo puede ocurrir un nacimiento o una muerte en cada instante. Las variables aleatorias de los tiempos que faltan para la próxima llegada y para la terminación del servicio son mutuamente independientes.
Diagrama de Estados:
Donde:
Flecha = transición
Datos = Tasa media de transferencia.
λn = número medio de llegadas por unidad de tiempo cuando el sistema está en el estado n (Del n al n+1)
µn = número medio de clientes atendidos por unidad de tiempo cuando el sistema está en el estado n (Del n al n-1)
Los modelos de colas, difieren sólo en las hipótesis de sobre cómo cambian las λn y las µn según el estado n.
Sea: λ0, λ1,……..λn, la tasa media de llegadas cuando hay 0,1,…n clientes en el sistema y µ1, µ2,….…..µn, µn+1, la tasa media de salidas o servicio cuando hay 1,2,…n, n+1 clientes en el sistema.
Sean: P0, P1,……,Pn, las probabilidades de estado estable.
Sea: ρ = factor de utilización del sistema (Carga, flujo o Intensidad de tráfico en el sistema)
ρ = λ/μ menor a 1 Principio del balance de flujos: Fórmulas: Ver El proceso de nacimiento y muerte, básicamente, describe sistemas cuyo estado, en cada instante, representa el número de individuos en el mismo. Sirve para modelar cambios en el tamaño de una población Modelos basados en procesos de nacimiento y muerte: Para cada uno de los modelos se establece el modelo de nacimiento y muerte correspondiente, y luego pasar a detallar las expresiones de L, Lq, W y Wq. Ejercicio: A continuación se presenta un ejercicio resuelto que utiliza este procedimiento dentro de las redes:
Para cualquier estado del sistema n (n = 0,1,2,...) la tasa media a la que ocurren sucesos de entrada debe ser igual a la tasa media a la que ocurren sucesos de salida. Las ecuaciones que lo expresan se llaman ecuaciones de balance de flujos para el estado n.
Suma de flujos de entrada = Suma de flujos de salida
Sea un sistema con n elementos en el instante t. Los elementos pueden nacer (llegar al sistema) o morir (salir de él). Al considerar que en un intervalo Δt sólo puede variar su estado en un elemento más o en uno menos. Por lo tanto para que en t+Δt haya n elementos es preciso que:
- En el instante t hubiera n elementos y no se haya producido ningún cambio.
- En el instante t hubiera n-1 elementos y se produjera una llegada.
- En el instante t hubiera n+1 elementos y se produjera una salida.
Se hace la suposición que Pn(t) = Pn es estacionario (la probabilidad no depende del tiempo) y que los procesos de nacimiento y muerte son de Poisson (distribución exponencial) con parámetros dependientes del estado λn, μn.
Seguidamente, se procederá a obtener las fórmulas de algunos modelos basados en el proceso de nacimiento y muerte. Concretamente se caracterizarán los modelos siguientes:
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